Questão 179

Questão 179 da prova rosa do segundo dia do Enem 2023

Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1 , C2 e C3, como apresentados na figura.

Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2) + área (C3).

Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.

A partir da medida do ângulo a, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

  1. 0° < a < 90°
  2. a = 90°
  3. 90° < a < 180°
  4. a = 180°
  5. 180° < a < 360°

Gabarito da questão

Opção C

Questões correspondentes

172 142 154

Assunto

Relações métricas no triângulo retângulo

Trigonometria

Comentário da questão

Sabendo que diâmetro é o dobro do raio, temos que 2ra, 2rb e 2rc são, respectivamente, os diâmetros dos círculos 1, 2 e 3.

Como a questão afirma que a área da pizza do professor é maior que a soma das áreas das pizzas dos amigos, temos que:

simplificando, temos:

Agora, aplicamos a lei dos cossenos no triângulo:

Como <0, temos que cosθ<0.

Então temos que  θ<180 (porque é um ângulo de um triângulo) e, como o cosseno é negativo, 90< θ. Portanto 90< θ< 180.

Gabarito: C

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